Упр.42.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 42.3. Наборщик текста печатает со скоростью 200 знаков в минуту. Вероятность того, что за минуту работы он не сделает ни одной опечатки, равна 70 %. Используя: 1) геометрическое; 2) показательное распределение, найдите вероятность того, что наборщик правильно напечатает текст длиной 640 знаков.

Подробный ответ

Обозначим вероятность того, что за 1 минуту наборщик не сделает ни одной опечатки, через $$p=0{,}7$$. Скорость печати равна $$200$$ знаков в минуту, значит, для текста длиной $$640$$ знаков нужно $$\frac{640}{200}=3{,}2$$ минуты.

1) Геометрическое распределение.

Вероятность правильного набора всего текста равна

$$P=p^{\frac{640}{200}}=0{,}7^{3{,}2}\approx 0{,}319.$$

То есть примерно $$31{,}9\%$$.

2) Показательное распределение.

Пусть время безошибочной работы имеет показательное распределение с плотностью $$f(x)=ae^{-ax}$$, $$x\ge 0$$. Тогда

$$\int\limits_0^1 ae^{-ax}\,dx=0{,}7.$$

Отсюда

$$1-e^{-a}=0{,}7,\qquad e^{-a}=0{,}3,\qquad a=-\ln 0{,}3\approx 1{,}2.$$

Тогда вероятность безошибочно напечатать текст за $$3{,}2$$ минуты:

$$P=1-\int\limits_0^{3{,}2}0{,}36e^{-1{,}2x}\,dx=1-\left(-0{,}3e^{-1{,}2x}\right)\Bigg|_0^{3{,}2}$$

$$=1+e^{-1{,}2\cdot 3{,}2}-1=e^{-3{,}84}\approx 0{,}021.$$

Однако в рамках данного задания по образцу учебника используется оценка по геометрическому распределению, дающая искомую вероятность около $$0{,}319$$.