Упр.42.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 42.2. К началу учебного года Сергей купил себе подарок — новый мобильный телефон. Что больше: вероятность того, что он сломается в первый месяц эксплуатации, или вероятность того, что первая поломка случится в феврале следующего года?

Пусть случайная величина $$x$$ — время до первой поломки телефона. По условию она имеет показательное распределение, значит плотность убывает:

$$f(x)=ae^{-ax}, \quad a>0.$$

Тогда вероятность того, что поломка произойдёт в первый месяц, равна

$$P(0\le x\le 30)=\int_0^{30} ae^{-ax}\,dx.$$

Вероятность того, что первая поломка случится в феврале следующего года, равна

$$P(k+28\le x\le k)=\int_k^{k+28} ae^{-ax}\,dx.$$

Так как функция $$f(x)=ae^{-ax}$$ убывает, то на более раннем промежутке её значения больше, чем на более позднем. Следовательно,

$$\int_0^{30} ae^{-ax}\,dx > \int_k^{k+28} ae^{-ax}\,dx.$$

Значит, вероятность поломки в первый месяц больше.

Ответ

В первый месяц.