Упр.41.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 41.7. Страховая компания, которая специализируется на страховании недвижимости, заключила 5000 новых договоров на год. При этом на зарплату страховым агентам, аренду офисов и т. д. из привлечённых сумм было потрачено 30 млн р. Каждый страховой взнос составляет 22 тыс. р., но в случае разрушения объекта страхования компания обязуется возместить 1,5 млн р. По опыту прошлых лет известно, что вероятность такого разрушения составляет 0,8 %. Оцените вероятность того, что привлечённых средств не хватит на покрытие выплат по страховым случаям.

Пусть $$x$$ — число страховых случаев. Тогда $$x$$ имеет биномиальное распределение с параметрами

$$n=5000,\quad p=0{,}008.$$

Обозначим через $$S$$ сумму, полученную компанией от взносов:

$$S=5000\cdot 22000=110\cdot 10^6\text{ р.}$$

На расходы уже потрачено $$30\cdot 10^6\text{ р.}$$, значит, на выплаты по страховым случаям остаётся

$$110\cdot 10^6-30\cdot 10^6=80\cdot 10^6\text{ р.}$$

Один страховой случай требует выплаты $$1{,}5\cdot 10^6\text{ р.}$$, поэтому средств не хватит, если

$$1{,}5\cdot 10^6x>80\cdot 10^6,$$

то есть

$$x>\frac{80}{1{,}5}=53{,}33.$$

Следовательно, нужно найти вероятность события $$x\ge 54.$$

Найдём параметры нормального приближения биномиального распределения:

$$\mu=np=5000\cdot 0{,}008=40,$$

$$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{5000\cdot 0{,}008\cdot 0{,}992}=\sqrt{39{,}68}\approx 6{,}3.$$

Тогда

$$P(x\ge 54)\approx P\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\ge \frac{53{,}33-40}{6{,}3}\right)=P(z\ge 2{,}12).$$

По таблице значений функции Лапласа:

$$P(z\ge 2{,}12)=0{,}5-P(0\le z\le 2{,}12)=0{,}5-0{,}483=0{,}017.$$

Ответ

$$0{,}017\approx 1{,}7\%.$$