Упр.41.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 41.3. (Правило трёх сигм.) Пусть случайная величинах имеет нормальное распределение с параметрами м и о. Докажите, что с вероятностью не меньшей, чем 99 %, случайная величина х принимает значения, удовлетворяющие двойному неравенству м-3о < x < м+3о.

Пусть $$X$$ — случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами $$\mu$$ и $$\sigma$$. Введём стандартную нормальную величину

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.$$

Тогда

$$P(\mu-3\sigma \le X \le \mu+3\sigma)=P\!\left(\frac{\mu-3\sigma-\mu}{\sigma}\le Z\le \frac{\mu+3\sigma-\mu}{\sigma}\right).$$

Получаем

$$P(\mu-3\sigma \le X \le \mu+3\sigma)=P(-3\le Z\le 3).$$

По таблице значений функции Лапласа

$$P(0\le Z\le 3)=0{,}49865.$$

Так как распределение симметрично относительно нуля, то

$$P(-3\le Z\le 3)=2\cdot 0{,}49865=0{,}9973.$$

Следовательно,

$$P(\mu-3\sigma \le X \le \mu+3\sigma)=0{,}9973>0{,}99.$$

Значит, с вероятностью не меньшей чем $$99\%$$ случайная величина $$X$$ принимает значения из промежутка $$\mu-3\sigma < X < \mu+3\sigma$$.

Ответ

$$P(\mu-3\sigma < X < \mu+3\sigma)\ge 0{,}99.$$