Упр.41.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 41.13. Средний рост девочек в 11 классе составляет 166 см, а стандартное отклонение — 7 см. Тренер баскетбольной команды ищет девочек ростом не ниже 180 см. Оцените вероятность того, что из 100 одиннадцатиклассниц школы ему удастся собрать команду из 5 человек.

Пусть случайная величина $$x$$ — рост девочки. Тогда $$x$$ имеет нормальное распределение с параметрами

$$\mu=166\text{ см},\quad \sigma=7\text{ см}.$$

Найдём вероятность того, что рост одной девочки не ниже $$180\text{ см}$$:

$$
p=P(x\ge 180)=P\!\left(z\ge \frac{180-166}{7}\right)=P(z\ge 2).
$$

По таблице значений функции Лапласа:

$$
P(z\ge 2)=0{,}5-0{,}47725=0{,}02275\approx 0{,}023.
$$

Тогда среди $$100$$ девочек математическое ожидание числа подходящих равно

$$
\lambda=np=100\cdot 0{,}023=2{,}3.
$$

Число подходящих девочек можно считать распределённым по закону Пуассона. Тогда вероятность того, что найдётся не менее $$5$$ девочек, равна

$$
P(X\ge 5)=1-\sum_{k=0}^{4}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}.
$$

Подставим $$\lambda=2{,}3$$:

$$
P(X\ge 5)=1-e^{-2{,}3}\left(1+2{,}3+\frac{2{,}3^2}{2!}+\frac{2{,}3^3}{3!}+\frac{2{,}3^4}{4!}\right).
$$

Вычислим:

$$
P(X\ge 5)\approx 1-(0{,}100259+0{,}230595+0{,}265185+0{,}203308+0{,}116902)
\approx 0{,}083751.
$$

Следовательно, искомая вероятность составляет примерно $$0{,}084$$, то есть $$8{,}4\%$$.

Ответ

$$8{,}4\%$$