Упр.4.47 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 4.47. Докажите, что log_a x/log_(ab) x=1+log_a b.

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_{ab} x=\frac{\log_a x}{\log_a(ab)}.$$

Тогда

$$\frac{\log_a x}{\log_{ab} x}=\log_a(ab).$$

Раскроем логарифм произведения:

$$\log_a(ab)=\log_a a+\log_a b=1+\log_a b.$$

Следовательно,

$$\frac{\log_a x}{\log_{ab} x}=1+\log_a b.$$

Равенство доказано.

Ответ

$$\frac{\log_a x}{\log_{ab} x}=1+\log_a b.$$