Упр.4.46 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 4.46. Выразите log_(ab) x через log_a x и log_b x.

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_{ab} x=\frac{1}{\log_x(ab)}=\frac{1}{\log_x a+\log_x b}.$$

Теперь выразим $$\log_x a$$ и $$\log_x b$$ через $$\log_a x$$ и $$\log_b x$$:

$$\log_x a=\frac{1}{\log_a x}, \qquad \log_x b=\frac{1}{\log_b x}.$$

Тогда

$$\log_{ab} x=\frac{1}{\frac{1}{\log_a x}+\frac{1}{\log_b x}}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\log_{ab} x=\frac{1}{\frac{\log_b x+\log_a x}{\log_a x\cdot \log_b x}}=\frac{\log_a x\cdot \log_b x}{\log_a x+\log_b x}.$$

Ответ

$$\log_{ab} x=\frac{\log_a x\cdot \log_b x}{\log_a x+\log_b x}.$$