Упр.4.45 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 4.45. Члены геометрической прогрессии являются положительными числами. Докажите, что логарифмы последовательных членов этой прогрессии по любому основанию образуют арифметическую прогрессию.

Пусть дана геометрическая прогрессия $$b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots$$, где $$b_n>0$$, а знаменатель прогрессии равен $$q$$.

Рассмотрим последовательность логарифмов её членов по произвольному основанию:

$$a_1=\log_x b_1,\quad a_2=\log_x b_2,\quad \ldots,\quad a_n=\log_x b_n.$$

Найдём разность соседних членов:

$$d=a_{n+1}-a_n=\log_x b_{n+1}-\log_x b_n.$$

Так как $$b_{n+1}=b_nq$$, а также $$b_n=b_1q^{\,n-1}$$, то

$$
d=\log_x(b_1q^n)-\log_x(b_1q^{\,n-1})
=\log_x\frac{b_1q^n}{b_1q^{\,n-1}}
=\log_x q.
$$

Разность $$d$$ не зависит от номера члена, значит последовательность $$a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$$ является арифметической.

Ответ

Логарифмы последовательных членов геометрической прогрессии образуют арифметическую прогрессию, так как разность соседних логарифмов постоянна и равна $$\log_x q$$.