Упр.4.44 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) lg (x/y)=lg (-x)-lg (-y); 3) log_x^2 y^2=log_x y.
2) lg x^2+lg y^2=2lg x+2lg (-y);

1. $$\lg \frac{x}{y}=\lg(-x)-\lg(-y)$$
   
   По свойству логарифмов:
   $$\lg(-x)-\lg(-y)=\lg \frac{-x}{-y}=\lg \frac{x}{y}.$$
   Значит, равенство выполняется при всех значениях, для которых определены логарифмы.

   Область определения:
   $$-x>0,\quad -y>0,$$
   то есть
   $$x<0,\quad y<0.$$
   Следовательно, множество точек — третья четверть координатной плоскости.

2. $$\lg x^2+\lg y^2=2\lg x+2\lg(-y)$$
   
   Преобразуем правую часть:
   $$2\lg x=\lg x^2,\qquad 2\lg(-y)=\lg(-y)^2=\lg y^2.$$
   Тогда
   $$\lg x^2+\lg y^2=\lg x^2+\lg y^2,$$
   то есть равенство тождественно верно при всех допустимых значениях.

   Область определения:
   $$x>0,\quad -y>0,$$
   то есть
   $$x>0,\quad y<0.$$
   Следовательно, множество точек — четвёртая четверть координатной плоскости.

3. $$\log_{x^2} y^2=\log_x y$$
   
   Используем свойства логарифмов:
   $$\log_{x^2} y^2=\frac{\ln y^2}{\ln x^2}=\frac{2\ln y}{2\ln x}=\frac{\ln y}{\ln x}=\log_x y.$$
   Значит, равенство выполняется при всех допустимых значениях.

   Область определения:
   $$x>0,\quad y>0,\quad x\ne 1.$$
   Следовательно, множество точек — область в первой четверти при $$x\ne 1$$.

Ответ

1) $$x<0,\ y<0$$ — третья четверть;
2) $$x>0,\ y<0$$ — четвёртая четверть;
3) $$x>0,\ y>0,\ x\ne 1$$ — первая четверть без прямой $$x=1$$.