Упр.4.42 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=7^(log_7 (x+2)); 5) y=lg (x^2+1)/lg (x^2+1);
2) y=(1/3)^(log_(1/3) (x-1)); 6) y=x^(log_x (2x));
3) y=(1/2)^(log_2 x^2); 7) y=log_3 log_(x+1) (x+1)^27;
4) y=log_x x; 8) y=log_(1/3) (x-2)·log_(x-2) (1/3).

1. $$y=7^{\log_7(x+2)}=x+2,$$
   так как $$a^{\log_a b}=b.$$
   Область определения:
   $$x+2>0,\quad x>-2.$$
2. $$y=\left(\frac13\right)^{\log_{1/3}(x-1)}=x-1.$$
   Область определения:
   $$x-1>0,\quad x>1.$$
3. $$y=\left(\frac12\right)^{\log_2 x^2}=2^{-\log_2 x^2}=\frac1{x^2}.$$
   Область определения:
   $$x^2>0,\quad x\ne 0.$$
4. $$y=\log_x x=1.$$
   Область определения:
   $$x>0,\quad x\ne 1.$$
5. $$y=\frac{\lg(x^2+1)}{\lg(x^2+1)}=1,$$
   при условии, что знаменатель не равен нулю:
   $$\lg(x^2+1)\ne 0 \;\Rightarrow\; x^2+1\ne 1 \;\Rightarrow\; x\ne 0.$$
   Значит, область определения:
   $$x\in\mathbb R,\quad x\ne 0.$$
6. $$y=x^{\log_x(2x)}=2x.$$
   Область определения:
   $$x>0,\quad x\ne 1.$$
7. $$y=\log_3\log_{x+1}(x+1)^{27}=\log_3 27=3,$$
   так как
   $$\log_{x+1}(x+1)^{27}=27.$$
   Область определения:
   $$x+1>0,\quad x+1\ne 1,$$
   то есть
   $$x>-1,\quad x\ne 0.$$
8. $$y=\log_{1/3}(x-2)\cdot \log_{x-2}\frac13=1,$$
   поскольку
   $$\log_a b\cdot \log_b a=1.$$
   Область определения:
   $$x-2>0,\quad x-2\ne 1,$$
   то есть
   $$x>2,\quad x\ne 3.$$

Ответ

1. $$y=x+2,\quad x>-2.$$
2. $$y=x-1,\quad x>1.$$
3. $$y=\frac1{x^2},\quad x\ne 0.$$
4. $$y=1,\quad x>0,\ x\ne 1.$$
5. $$y=1,\quad x\in\mathbb R,\ x\ne 0.$$
6. $$y=2x,\quad x>0,\ x\ne 1.$$
7. $$y=3,\quad x>-1,\ x\ne 0.$$
8. $$y=1,\quad x>2,\ x\ne 3.$$