Упр.4.41 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=lg tg(x)+lg ctg(x); 6) y=2^(log_2 x^2);
2) y=log_x 1; 7) y=log_(1/2) x/log_(1/2) x;
3) y=3^(log_3 (x+3)); 8) y=log_(1/2) log_(3-x) (3-x)^4;
4) y=5^(-log_5 x); 9) y=2^(log_4 x^2).
5) y=10^(1/log_x 10);

1. $$y=\lg \tg x+\lg \ctg x=\lg(\tg x\cdot \ctg x)=\lg 1=0.$$

   Область определения:

   $$\tg x>0,\ \ctg x>0.$$

   Отсюда

   $$2\pi k<x<\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad \pi+2\pi k<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

   Значит, график — горизонтальные лучи на этих промежутках: $$y=0.$$

2. $$y=\log_x 1=0.$$

   Область определения:

   $$x>0,\ x\ne 1.$$

   График — часть прямой $$y=0$$ при $$x>0,\ x\ne 1.$$

3. $$y=3^{\log_3(x+3)}=x+3.$$

   Область определения:

   $$x+3>0,\quad x>-3.$$

   График — луч прямой $$y=x+3$$ при $$x>-3.$$

4. $$y=5^{-\log_5 x}=5^{\log_5 x^{-1}}=x^{-1}=\frac{1}{x}.$$

   Область определения:

   $$x>0.$$

   График — ветвь гиперболы $$y=\frac{1}{x}$$ в первой четверти.

5. $$y=10^{\frac{1}{\log_x 10}}=10^{\log_{10}x}=x.$$

   Область определения:

   $$x>0,\ x\ne 1.$$

   График — часть прямой $$y=x$$ при $$x>0,\ x\ne 1.$$

6. $$y=2^{\log_2 x^2}=x^2.$$

   Область определения:

   $$x^2>0,\quad x\ne 0.$$

   График — парабола $$y=x^2$$ без точки $$x=0$$, то есть с выколотой точкой $$\,(0,0).$$

7. $$y=\frac{\log_{1/2}x}{\log_{1/2}x}=1.$$

   Область определения:

   $$x>0,\ x\ne 1.$$

   График — часть прямой $$y=1$$ при $$x>0,\ x\ne 1.$$

8. $$y=\log_{1/2}\log_{3-x}(3-x)^4.$$

   Так как

   $$\log_{3-x}(3-x)^4=4,$$

   то

   $$y=\log_{1/2}4=-2.$$

   Область определения:

   $$3-x>0,\quad 3-x\ne 1,$$

   то есть

   $$x<3,\quad x\ne 2.$$

   График — часть прямой $$y=-2$$ при $$x<3,\ x\ne 2.$$

9. $$y=2^{\log_4 x^2}=2^{\log_{2^2}x^2}=2^{\frac{1}{2}\log_2 x^2}=\sqrt{x^2}=|x|.$$

   Область определения:

   $$x^2>0,\quad x\ne 0.$$

   График — график функции $$y=|x|$$ без точки $$x=0$$, то есть с выколотой точкой $$\,(0,0).$$

Ответ

1. $$y=0,$$ при $$2\pi k<x<\frac{\pi}{2}+2\pi k$$ и $$\pi+2\pi k<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
2. $$y=0,$$ $$x>0,\ x\ne 1.$$
3. $$y=x+3,$$ $$x>-3.$$
4. $$y=\frac{1}{x},$$ $$x>0.$$
5. $$y=x,$$ $$x>0,\ x\ne 1.$$
6. $$y=x^2,$$ $$x\ne 0.$$
7. $$y=1,$$ $$x>0,\ x\ne 1.$$
8. $$y=-2,$$ $$x<3,\ x\ne 2.$$
9. $$y=|x|,$$ $$x\ne 0.$$