Упр.4.40 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 4.40. Вычислите значение выражения log_4 5·log_5 6·log_6 7·log_7 32.

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Тогда

$$\log_4 5\cdot \log_5 6\cdot \log_6 7\cdot \log_7 32$$

преобразуем так:

$$
\frac{\log_{32} 5}{\log_{32} 4}\cdot
\frac{\log_{32} 6}{\log_{32} 5}\cdot
\frac{\log_{32} 7}{\log_{32} 6}\cdot
\frac{\log_{32} 32}{\log_{32} 7}
$$

Сокращаем одинаковые множители:

$$
\frac{\log_{32} 32}{\log_{32} 4}
$$

Так как $$\log_{32} 32=1,$$ получаем

$$
\frac{1}{\log_{32} 4}=\log_4 32
$$

Теперь вычислим:

$$
\log_4 32=\log_{2^2} 2^5=\frac{5}{2}
$$

Ответ

$$\frac{5}{2}$$