Упр.4.37 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_2 (1-x^2)=log_2 (1-x)+log_2 (1+x);
2) lg ((x^2-2x+1)/(x^2+1))=lg (x^2-2x+1)-lg (x^2+1);
3) log_5 (x^2-4x+4)=2log_5 (2-x);
4) log_5(x^2-4x+4)=2log_5 |x-2|.

1. $$\log_2(1-x^2)=\log_2(1-x)+\log_2(1+x)$$
   
   По свойству логарифмов:
   $$\log_2(1-x)+\log_2(1+x)=\log_2\bigl((1-x)(1+x)\bigr)=\log_2(1-x^2).$$
   
   Нужно лишь, чтобы оба логарифма были определены:
   $$1-x>0,\quad 1+x>0.$$
   Отсюда
   $$x<1,\quad x>-1,$$
   значит,
   $$x\in(-1;1).$$
2. $$\lg\frac{x^2-2x+1}{x^2+1}=\lg(x^2-2x+1)-\lg(x^2+1)$$
   
   Правая часть по свойству логарифмов:
   $$\lg(x^2-2x+1)-\lg(x^2+1)=\lg\frac{x^2-2x+1}{x^2+1}.$$
   
   Для существования логарифмов нужно:
   $$x^2-2x+1>0,\quad x^2+1>0.$$
   Так как
   $$x^2-2x+1=(x-1)^2,$$
   то
   $$(x-1)^2>0,\quad x\ne1.$$
   Следовательно,
   $$x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
3. $$\log_5(x^2-4x+4)=2\log_5(2-x)$$
   
   Так как
   $$x^2-4x+4=(x-2)^2,$$
   а
   $$2\log_5(2-x)=\log_5(2-x)^2,$$
   то равенство верно при условии существования логарифмов:
   $$x^2-4x+4>0,\quad 2-x>0.$$
   
   Имеем
   $$(x-2)^2>0,\quad x<2,$$
   значит,
   $$x\ne2,\quad x<2.$$
   Следовательно,
   $$x\in(-\infty;2).$$
4. $$\log_5(x^2-4x+4)=2\log_5|x-2|$$
   
   Преобразуем:
   $$x^2-4x+4=(x-2)^2,$$
   поэтому
   $$2\log_5|x-2|=\log_5|x-2|^2=\log_5(x-2)^2.$$
   
   Для существования логарифмов нужно:
   $$(x-2)^2>0,\quad |x-2|>0.$$
   Это равносильно
   $$x\ne2.$$
   Значит,
   $$x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-1;1)$$;
2) $$(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$$;
3) $$(-\infty;2)$$;
4) $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$.