Упр.4.34 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 4.34. Упростите выражение (log_a (ab)(log_b a-1+log_a b))/(1+(log_a b)^3).

Пусть $$x=\log_a b.$$ Тогда по свойству логарифмов

$$\log_b a=\frac{1}{\log_a b}=\frac{1}{x}.$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{\log_a(ab)\,(\log_b a-1+\log_a b)}{1+(\log_a b)^3}.$$

Так как $$\log_a(ab)=\log_a a+\log_a b=1+x,$$ а

$$\log_b a-1+\log_a b=\frac{1}{x}-1+x=\frac{1-x+x^2}{x},$$

то

$$\frac{(1+x)\cdot \frac{1-x+x^2}{x}}{1+x^3}.$$

Используем формулу суммы кубов:

$$1+x^3=(1+x)(1-x+x^2).$$

Тогда

$$\frac{(1+x)\cdot \frac{1-x+x^2}{x}}{(1+x)(1-x+x^2)}=\frac{1}{x}.$$

Возвращаясь к исходной переменной, получаем

$$\frac{1}{x}=\log_b a.$$

Ответ

$$\log_b a$$