Упр.4.33 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 4.33. Упростите выражение (1-(log_a b)^3)/((log_a b+log_b a+1)log_a a/b).

Обозначим $$x=\log_a b.$$ Тогда $$\log_b a=\frac{1}{x},$$ а также

$$\log_a \frac{a}{b}=\log_a a-\log_a b=1-x.$$

Преобразуем выражение:

$$
\frac{1-(\log_a b)^3}{(\log_a b+\log_b a+1)\log_a \frac{a}{b}}
=
\frac{1-x^3}{\left(x+\frac{1}{x}+1\right)(1-x)}.
$$

Разложим числитель на множители:

$$1-x^3=(1-x)(1+x+x^2).$$

Тогда

$$
\frac{(1-x)(1+x+x^2)}{\left(x+\frac{1}{x}+1\right)(1-x)}
=
\frac{1+x+x^2}{x+\frac{1}{x}+1}.
$$

Приведём знаменатель к общему виду:

$$
x+\frac{1}{x}+1=\frac{x^2+x+1}{x}.
$$

Следовательно,

$$
\frac{1+x+x^2}{\frac{x^2+x+1}{x}}=x.
$$

Возвращаясь к обозначению, получаем:

$$x=\log_a b.$$

Ответ

$$\log_a b$$