Упр.4.31 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 4.31. Вычислите значение выражения 5^(4/log_v3 5+1/2 log_5 4)+36log_2 (2·2^(1/3))^(1/4).

Подробный ответ

$$5^{\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5}+\frac{1}{2}\log_5 4}+36\log_2\left(2\cdot 2^{1/3}\right)^{1/4}$$

Используем свойство $$\frac{1}{\log_a b}=\log_b a$$:

$$\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5}=4\log_5 \sqrt{3}.$$

Тогда

$$5^{4\log_5 \sqrt{3}+\frac{1}{2}\log_5 4}
=5^{4\log_5 \sqrt{3}}\cdot 5^{\frac{1}{2}\log_5 4}.$$

Преобразуем каждый множитель:

$$5^{4\log_5 \sqrt{3}}=\left(5^{\log_5 \sqrt{3}}\right)^4=(\sqrt{3})^4=9,$$

$$5^{\frac{1}{2}\log_5 4}=\left(5^{\log_5 4}\right)^{1/2}=4^{1/2}=2.$$

Значит, первая часть равна $$9\cdot 2=18.$$

Теперь рассмотрим вторую часть:

$$\left(2\cdot 2^{1/3}\right)^{1/4}= \left(2^{1+1/3}\right)^{1/4}=\left(2^{4/3}\right)^{1/4}=2^{1/3}.$$