Упр.4.29 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_7 sin(п/5)·log_sin(п/5) 49;
2) log_3 cos^2(п/9)·log_cos(п/9) 9.

1) Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_7 \sin\frac{\pi}{5}\cdot \log_{\sin\frac{\pi}{5}}49
=\log_7 \sin\frac{\pi}{5}\cdot \frac{1}{\log_{49}\sin\frac{\pi}{5}}.$$

Так как $$49=7^2,$$ то

$$\log_{49}\sin\frac{\pi}{5}=\frac{\log_7\sin\frac{\pi}{5}}{\log_7 49}
=\frac{\log_7\sin\frac{\pi}{5}}{2}.$$

Тогда

$$\log_7 \sin\frac{\pi}{5}\cdot \frac{1}{\log_{49}\sin\frac{\pi}{5}}
=\log_7 \sin\frac{\pi}{5}\cdot \frac{2}{\log_7\sin\frac{\pi}{5}}=2.$$

2) Аналогично:

$$\log_3 \cos^2\frac{\pi}{9}\cdot \log_{\cos\frac{\pi}{9}}9
=\log_3 \cos^2\frac{\pi}{9}\cdot \frac{1}{\log_9\cos\frac{\pi}{9}}.$$

Так как $$\cos^2\frac{\pi}{9}=\left(\cos\frac{\pi}{9}\right)^2,$$ то

$$\log_3 \cos^2\frac{\pi}{9}=2\log_3 \cos\frac{\pi}{9}.$$

Кроме того, $$9=3^2,$$ значит

$$\log_9\cos\frac{\pi}{9}=\frac{\log_3\cos\frac{\pi}{9}}{\log_3 9}
=\frac{\log_3\cos\frac{\pi}{9}}{2}.$$

Тогда

$$\log_3 \cos^2\frac{\pi}{9}\cdot \log_{\cos\frac{\pi}{9}}9
=2\log_3\cos\frac{\pi}{9}\cdot \frac{2}{\log_3\cos\frac{\pi}{9}}=4.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$4$$.