Упр.4.28 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (3lg 4+lg 0,5)/(lg 9-lg 18);
2) (lg 625-8lg 2)/(1/2 lg 256-2lg 5).

1) Преобразуем числитель и знаменатель:

$$3\lg 4+\lg 0{,}5=\lg 4^3+\lg 0{,}5=\lg(4^3\cdot 0{,}5)=\lg 32,$$

$$\lg 9-\lg 18=\lg\frac{9}{18}=\lg\frac12.$$

Тогда

$$\frac{3\lg 4+\lg 0{,}5}{\lg 9-\lg 18}=\frac{\lg 32}{\lg \frac12}=\log_{\frac12}32.$$

Так как $$32=2^5,$$ а $$\frac12=2^{-1},$$ получаем

$$\log_{2^{-1}}2^5=-5.$$

2) Преобразуем выражение:

$$\lg 625-8\lg 2=\lg 625-\lg 2^8=\lg\frac{625}{256},$$

$$\frac12\lg 256-2\lg 5=\lg 256^{1/2}-\lg 5^2=\lg\frac{16}{25}.$$

Тогда

$$\frac{\lg 625-8\lg 2}{\frac12\lg 256-2\lg 5}=\frac{\lg \frac{625}{256}}{\lg \frac{16}{25}}=\log_{\frac{16}{25}}\frac{625}{256}.$$

Заметим, что

$$\frac{625}{256}=\left(\frac54\right)^4,\qquad \frac{16}{25}=\left(\frac45\right)^2=\left(\frac54\right)^{-2}.$$

Следовательно,

$$\log_{\left(\frac54\right)^{-2}}\left(\frac54\right)^4=-2.$$

Ответ

1) $$-5$$; 2) $$-2$$.