Упр.4.26 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_a x=3log_a 2+2log_a 3;
2) log_a x=1/4 log_a 16+3log_a 0,5;
3) lg x=2/5 lg 32-1/3 lg 64+1.

1. $$\log_a x=3\log_a 2+2\log_a 3$$

   Используем свойство логарифмов:

   $$3\log_a 2=\log_a 2^3,\qquad 2\log_a 3=\log_a 3^2$$

   Тогда

   $$\log_a x=\log_a(2^3\cdot 3^2)$$

   Следовательно,

   $$x=2^3\cdot 3^2=8\cdot 9=72$$

2. $$\log_a x=\frac14\log_a 16+3\log_a 0{,}5$$

   Преобразуем:

   $$\frac14\log_a 16=\log_a 16^{1/4},\qquad 3\log_a 0{,}5=\log_a(0{,}5^3)$$

   Тогда

   $$\log_a x=\log_a\left(16^{1/4}\cdot 0{,}5^3\right)$$

   Вычислим:

   $$16^{1/4}=2,\qquad 0{,}5^3=\frac18=0{,}125$$

   Значит,

   $$x=2\cdot 0{,}125=0{,}25$$

3. $$\lg x=\frac25\lg 32-\frac13\lg 64+1$$

   Запишем числа как степени двойки:

   $$32=2^5,\qquad 64=2^6,\qquad 1=\lg 10$$

   Тогда

   $$\lg x=\lg 32^{2/5}-\lg 64^{1/3}+\lg 10$$

   $$\lg x=\lg\left(32^{2/5}\cdot 10\div 64^{1/3}\right)$$

   Вычислим:

   $$32^{2/5}=(2^5)^{2/5}=2^2=4,\qquad 64^{1/3}=(2^6)^{1/3}=2^2=4$$

   Следовательно,

   $$\lg x=\lg(4\cdot 10\div 4)=\lg 10$$

   Значит,

   $$x=10$$

Ответ

1) $$72$$; 2) $$0{,}25$$; 3) $$10$$.