Упр.4.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2^(3log_2 5+4); 5) 9^(2log_3 2+4log_81 2);
2) 8^(1-log_2 3); 6) 2·100^(1/2 lg 8-2lg 2);
3) (1/3)^(log_9 2-3); 7) lg (25^(log_5 0,8)+9^(log_3 0,6));
4) 7^(2log_7 3+log_v7 4); 8) 27^(1/log_5 3)+25^(1/log_2 5)-36^(1/log_9 6).

1. $$2^{3\log_2 5+4}=2^{3\log_2 5}\cdot 2^4=(2^{\log_2 5})^3\cdot 16=5^3\cdot 16=125\cdot 16=2000.$$

2. $$8^{1-\log_2 3}=8\cdot 8^{-\log_2 3}=8\cdot (2^3)^{-\log_2 3}=8\cdot 2^{-3\log_2 3}=8\cdot 3^{-3}=\frac{8}{27}.$$

3. $$\left(\frac13\right)^{\log_9 2-3}=9^{-\frac12\log_9 2}\cdot \left(\frac13\right)^{-3}.$$
   Так как $$9^{\log_9 2}=2,$$ то
   $$9^{-\frac12\log_9 2}=2^{-\frac12}=\frac{1}{\sqrt2},$$
   а
   $$\left(\frac13\right)^{-3}=27.$$
   Тогда
   $$\left(\frac13\right)^{\log_9 2-3}=\frac{27}{\sqrt2}.$$

4. $$7^{2\log_7 3+\log_{\sqrt7}4}=7^{2\log_7 3}\cdot 7^{\log_{\sqrt7}4}.$$
   Имеем
   $$7^{2\log_7 3}=(7^{\log_7 3})^2=3^2=9,$$
   а
   $$7^{\log_{\sqrt7}4}=(\sqrt7)^{2\log_{\sqrt7}4}=4^2=16.$$
   Значит,
   $$7^{2\log_7 3+\log_{\sqrt7}4}=9\cdot 16=144.$$

5. $$9^{2\log_3 2+4\log_{81}2}=9^{2\log_3 2}\cdot 9^{4\log_{81}2}.$$
   Так как $$9=3^2,$$ то
   $$9^{2\log_3 2}=(3^2)^{2\log_3 2}=3^{4\log_3 2}=2^4=16.$$
   Кроме того, $$81=3^4,$$ поэтому
   $$\log_{81}2=\frac{1}{4}\log_3 2,$$
   и
   $$9^{4\log_{81}2}=9^{\log_3 2}=(3^2)^{\log_3 2}=2^2=4.$$
   Тогда
   $$9^{2\log_3 2+4\log_{81}2}=16\cdot 4=64.$$

6. $$2\cdot 100^{\frac12\lg 8-2\lg 2}=2\cdot (10^2)^{\frac12\lg 8-2\lg 2}.$$
   Получаем
   $$2\cdot 10^{2\left(\frac12\lg 8-2\lg 2\right)}=2\cdot 10^{\lg 8-4\lg 2}.$$
   Так как $$\lg 8=3\lg 2,$$ то
   $$\lg 8-4\lg 2=-\lg 2,$$
   значит
   $$2\cdot 10^{-\lg 2}=2\cdot 2^{-1}=1.$$

7. $$\lg\left(25^{\log_5 0{,}8}+9^{\log_3 0{,}6}\right).$$
   Имеем
   $$25^{\log_5 0{,}8}=(5^2)^{\log_5 0{,}8}=(5^{\log_5 0{,}8})^2=(0{,}8)^2=0{,}64,$$
   $$9^{\log_3 0{,}6}=(3^2)^{\log_3 0{,}6}=(3^{\log_3 0{,}6})^2=(0{,}6)^2=0{,}36.$$
   Тогда
   $$\lg(0{,}64+0{,}36)=\lg 1=0.$$

8. $$27^{\frac{1}{\log_5 3}}+25^{\frac{1}{\log_2 5}}-36^{\frac{1}{\log_9 6}}.$$
   Используем формулу $$\frac{1}{\log_a b}=\log_b a.$$
   Тогда
   $$27^{\frac{1}{\log_5 3}}=27^{\log_3 5}=(3^3)^{\log_3 5}=5^3=125,$$
   $$25^{\frac{1}{\log_2 5}}=25^{\log_5 2}=(5^2)^{\log_5 2}=2^2=4,$$
   $$36^{\frac{1}{\log_9 6}}=36^{\log_6 9}=(6^2)^{\log_6 9}=9^2=81.$$
   Следовательно,
   $$125+4-81=48.$$

Ответ

1) $$2000$$; 2) $$\frac{8}{27}$$; 3) $$\frac{27}{\sqrt2}$$; 4) $$144$$; 5) $$64$$; 6) $$1$$; 7) $$0$$; 8) $$48$$.