Упр.37.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 37.9. Множеством значений случайной величины t является промежуток [a; b]. На этом промежутке определена функция F так, что F(x)=P(t < x), где хє[a; b]. Оказалось, что F — дифференцируемая функция. Докажите, что функция p(x)={(F'(x), xє[a; b]; 0, x не принадлежит [a; b]) является плотностью распределения вероятностей случайной величины t.

Так как $$F(x)=P(t<x), \quad x\in[a;b],$$ то для малого $$\Delta x>0$$ имеем

$$P(x\le t<x+\Delta x)=F(x+\Delta x)-F(x).$$

Тогда

$$\frac{P(x\le t<x+\Delta x)}{\Delta x}=\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}.$$

Переходя к пределу при $$\Delta x\to 0,$$ получаем

$$p(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=F'(x), \quad x\in[a;b].$$

С учётом области определения случайной величины вне отрезка $$[a;b]$$ плотность равна нулю:

$$p(x)=
\begin{cases}
F'(x), & x\in[a;b],\\
0, & x\notin[a;b].
\end{cases}$$

Следовательно, функция $$p(x)$$ является плотностью распределения вероятностей случайной величины $$t$$.

Ответ

$$p(x)=
\begin{cases}
F'(x), & x\in[a;b],\\
0, & x\notin[a;b].
\end{cases}$$