Упр.37.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 37.7. При каких значениях b функция p(x)={(cos(x), xє[0; b]; 0, x не принадлежит [0; b]) является плотностью распределения вероятностей случайной величины?

Чтобы функция $$p(x)$$ была плотностью распределения вероятностей, должны выполняться условия:

• $$p(x)\ge 0$$ на своей области определения;
• $$\int_{-\infty}^{+\infty} p(x)\,dx=1.$$

Здесь

$$
p(x)=
\begin{cases}
\cos x, & x\in[0;b],\\
0, & x\notin[0;b].
\end{cases}
$$

Тогда

$$\int_0^b \cos x\,dx=1.$$

Вычислим интеграл:

$$
\int_0^b \cos x\,dx=\sin x\Big|_0^b=\sin b-\sin 0=\sin b.
$$

Получаем уравнение

$$\sin b=1.$$

Отсюда

$$b=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Но на отрезке $$[0;b]$$ функция $$\cos x$$ должна быть неотрицательной. Это возможно только при $$0\le x\le \frac{\pi}{2}$$, значит подходит наименьшее значение $$b=\frac{\pi}{2}$$.

Ответ

$$\frac{\pi}{2}$$