Упр.36.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 36.6. Монету подбрасывают n раз. Пусть х — количество выпавших при этом гербов, а у — количество выпавших гербов при первых n — k подбрасываниях. Докажите, что коэффициент корреляции между случайными величинами х и у равен r_(xy)=v(1-k/n).

Подробный ответ

Пусть $$x$$ — число гербов при $$n$$ подбрасываниях монеты, а $$y$$ — число гербов при первых $$n-k$$ подбрасываниях.

Тогда величины $$x$$ и $$y$$ имеют биномиальное распределение:

$$M(x)=\frac{n}{2}, \qquad D(x)=\frac{n}{4},$$

$$M(y)=\frac{n-k}{2}, \qquad D(y)=\frac{n-k}{4}.$$

Найдём математическое ожидание произведения $$xy$$. Так как $$y$$ учитывает только первые $$n-k$$ бросков, а $$x=y+z$$, где $$z$$ — число гербов на последних $$k$$ бросках, то

$$xy=y(y+z)=y^2+yz.$$

Для биномиальных величин получаем:

$$M(xy)=\frac{1}{4}(n-k)(1+n).$$

Тогда ковариация равна

$$\operatorname{cov}(x,y)=M(xy)-M(x)M(y)$$

$$=\frac{1}{4}(n-k)(1+n)-\frac{n}{2}\cdot\frac{n-k}{2}$$

$$=\frac{n-k}{4}.$$

Теперь вычислим коэффициент корреляции:

$$r_{xy}=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{D(x)}\sqrt{D(y)}}$$

$$=\frac{\frac{n-k}{4}}{\sqrt{\frac{n}{4}}\sqrt{\frac{n-k}{4}}}$$

$$=\frac{n-k}{\sqrt{n(n-k)}}=\sqrt{\frac{n-k}{n}}=\sqrt{1-\frac{k}{n}}.$$