Упр.36.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 36.5. Игральный кубик подбрасывают n раз. Пусть х — количество выпавших при этом пятёрок, а y — количество шестёрок. Найдите коэффициент корреляции между случайными величинами х и у.

Подробный ответ

Обозначим через $$x$$ число выпавших пятёрок, а через $$y$$ — число выпавших шестёрок при $$n$$ подбрасываниях кубика.

Для одного подбрасывания:

$$M(x)=M(y)=1\cdot \frac16+0\cdot \frac56=\frac16.$$

Так как $$x$$ и $$y$$ — индикаторные случайные величины, то

$$D(x)=D(y)=M(x^2)-\bigl(M(x)\bigr)^2=1^2\cdot \frac16+0^2\cdot \frac56-\left(\frac16\right)^2=\frac16-\frac1{36}=\frac5{36}.$$

Ковариация:

$$\operatorname{cov}(x,y)=M(xy)-M(x)M(y).$$

События «выпала пятёрка» и «выпала шестёрка» при одном броске несовместны, значит $$xy=0$$, поэтому

$$\operatorname{cov}(x,y)=0-\frac16\cdot \frac16=-\frac1{36}.$$

Коэффициент корреляции:

$$r_{xy}=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{D(x)}\sqrt{D(y)}}=\frac{-\frac1{36}}{\sqrt{\frac5{36}}\sqrt{\frac5{36}}}=\frac{-\frac1{36}}{\frac5{36}}=-\frac15.$$