Упр.36.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 36.4. Игральный кубик подбрасывают один раз. Пусть х=1, если выпала пятёрка, и х=0 в остальных случаях; y=1, если выпала шестёрка, и у=0 в остальных случаях. Найдите коэффициент корреляции между случайными величинами х и у.

Подробный ответ

Найдём математические ожидания случайных величин $$x$$ и $$y$$.

$$M(x)=1\cdot \frac16+0\cdot \frac56=\frac16,$$
$$M(y)=1\cdot \frac16+0\cdot \frac56=\frac16.$$

Так как $$x^2=x$$ и $$y^2=y$$, то

$$D(x)=M(x^2)-\bigl(M(x)\bigr)^2=\frac16-\left(\frac16\right)^2=\frac16-\frac1{36}=\frac5{36},$$
$$D(y)=M(y^2)-\bigl(M(y)\bigr)^2=\frac16-\left(\frac16\right)^2=\frac5{36}.$$

Найдём ковариацию:

$$M(xy)=0,$$

так как события «выпала пятёрка» и «выпала шестёрка» одновременно невозможны. Тогда

$$\operatorname{cov}(x,y)=M(xy)-M(x)\cdot M(y)=0-\frac16\cdot \frac16=-\frac1{36}.$$

Коэффициент корреляции:

$$r_{xy}=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{D(x)}\cdot \sqrt{D(y)}}=\frac{-\frac1{36}}{\sqrt{\frac5{36}}\cdot \sqrt{\frac5{36}}}=\frac{-\frac1{36}}{\frac5{36}}=-\frac15.$$