Упр.36.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 36.2. Докажите, что если случайные величины x и у связаны линейной зависимостью, т. е. y=kx+b, где k не равно 0, то r_(xy)=1 при k > 0 и r_(xy)=-1 при k < 0.

Подробный ответ

Пусть случайные величины связаны линейной зависимостью $$y=kx+b,$$ где $$k\ne 0.$$

Найдём математическое ожидание, дисперсию и ковариацию:

$$M(y)=M(kx+b)=kM(x)+b,$$
$$D(y)=D(kx+b)=k^2D(x),$$
$$\operatorname{cov}(x,y)=M\bigl((x-M(x))(y-M(y))\bigr).$$

Подставим $$y=kx+b$$ и $$M(y)=kM(x)+b$$:

$$
\operatorname{cov}(x,y)=M\bigl((x-M(x))(kx+b-kM(x)-b)\bigr)
$$
$$
= M\bigl((x-M(x))\cdot k(x-M(x))\bigr)
= kM\bigl((x-M(x))^2\bigr)
= kD(x).
$$

Теперь вычислим коэффициент корреляции:

$$
r_{xy}=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{D(x)}\cdot \sqrt{D(y)}}
=\frac{kD(x)}{\sqrt{D(x)}\cdot \sqrt{k^2D(x)}}
=\frac{k}{|k|}.
$$

Если $$k>0,$$ то $$|k|=k,$$ значит

$$r_{xy}=\frac{k}{k}=1.$$

Если $$k<0,$$ то $$|k|=-k,$$ значит

$$r_{xy}=\frac{k}{-k}=-1.$$