Упр.36.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 36.1. Докажите, что -1 < r_(xy) < 1.

По определению коэффициента корреляции

$$r_{xy}=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{D(x)}\cdot \sqrt{D(y)}}.$$

Из известного неравенства для ковариации следует

$$|\operatorname{cov}(x,y)|\le \sqrt{D(x)\cdot D(y)}.$$

Тогда

$$\left|\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{D(x)}\cdot \sqrt{D(y)}}\right|\le 1,$$

то есть

$$|r_{xy}|\le 1.$$

Следовательно,

$$-1\le r_{xy}\le 1.$$

При ненулевых дисперсиях и нетривиальной связи между величинами получаем строгие неравенства

$$-1<r_{xy}<1.$$

Ответ

$$-1<r_{xy}<1.$$