Упр.35.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 35.6. Монету подбрасывают 11 раз. Пусть х — количество гербов, выпавших при первых 10 подбрасываниях, а y — количество гербов, выпавших при последних 10 подбрасываниях. Найдите ковариацию случайных величин х и у.

Подробный ответ

Пусть $$X$$ — число гербов среди первых 10 бросков, а $$Y$$ — число гербов среди последних 10 бросков.

Тогда

$$X=\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_{10}, \qquad Y=\xi_2+\xi_3+\cdots+\xi_{11},$$

где $$\xi_i$$ — индикатор выпадения герба при $$i$$-м броске, $$P(\xi_i=1)=P(\xi_i=0)=\frac12.$$

Найдём математические ожидания:

$$M(X)=M(Y)=10\cdot \frac12=5.$$

Теперь вычислим $$M(XY)$$. В произведении $$XY$$ есть:

$$10$$ слагаемых вида $$\xi_i^2=\xi_i$$, каждое даёт вклад $$M(\xi_i)=\frac12$$;
$$90$$ слагаемых вида $$\xi_i\xi_j$$ при $$i\ne j$$, каждое даёт вклад $$M(\xi_i\xi_j)=\frac14$$.

Но удобнее сразу учесть, что общих бросков между $$X$$ и $$Y$$ девять, а всего пар в произведении $$10\cdot 10=100$$. Тогда:

$$M(XY)=9\cdot \frac12+91\cdot \frac14=\frac{109}{4}.$$

Следовательно, ковариация равна

$$\operatorname{cov}(X,Y)=M(XY)-M(X)M(Y)=\frac{109}{4}-5\cdot 5=\frac{109}{4}-25=\frac{9}{4}.$$