Упр.35.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 35.3. Монету подбрасывают три раза. Пусть х — количество гербов, которые выпали на монетах, a y — количество гербов, которых выпали на монетах при первых двух подбрасываниях. Найдите ковариацию случайных величин х и у.

Обозначим через $$x$$ число гербов при трёх подбрасываниях монеты, а через $$y$$ — число гербов при первых двух подбрасываниях.

Найдём математические ожидания $$M(x)$$, $$M(y)$$ и $$M(xy)$$.

Для величины $$x$$ возможны значения $$0,1,2,3$$:

$$
M(x)=3\cdot C_3^3\cdot \frac{1}{2^3}+2\cdot C_3^2\cdot \frac{1}{2^3}+1\cdot C_3^1\cdot \frac{1}{2^3}+0\cdot C_3^0\cdot \frac{1}{2^3}
$$
$$
M(x)=\frac{3\cdot 1+2\cdot 3+1\cdot 3+0}{2^3}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}
$$

Для величины $$y$$ возможны значения $$0,1,2$$:

$$
M(y)=2\cdot C_2^2\cdot \frac{1}{2^2}+1\cdot C_2^1\cdot \frac{1}{2^2}+0\cdot C_2^0\cdot \frac{1}{2^2}
$$
$$
M(y)=\frac{2\cdot 1+1\cdot 2+0}{2^2}=\frac{4}{4}=1
$$

Теперь найдём $$M(xy)$$:

$$
M(xy)=6\cdot C_3^3\cdot \frac{1}{2^3}+4\cdot C_2^2\cdot \frac{1}{2^3}+2\cdot C_2^1\cdot \frac{1}{2^3}+1\cdot C_2^1\cdot \frac{1}{2^3}
$$
$$
M(xy)=\frac{6\cdot 1+4\cdot 1+2\cdot 2+1\cdot 2}{2^3}=\frac{16}{8}=2
$$

Ковариация:

$$
\operatorname{cov}(x,y)=M(xy)-M(x)\cdot M(y)
$$
$$
\operatorname{cov}(x,y)=2-\frac{3}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}
$$

Ответ

$$0{,}5$$