Упр.34.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 34.9. (Закон больших чисел.) Пусть x_1, x_2, …, x_n — независимые одинаково распределённые случайные величины, имеющие математическое ожидание м и дисперсию D, случайная величина у — среднее арифметическое случайных величин x_1, x_2, …, x_n, т. е. y=(x_1+x_2+…+x_n)/n. Тогда для любого положительного числа о вероятность того, что выполняется двойное неравенство м-о < y < м+о, неограниченно приближается к 1 с ростом числа n. Докажите это утверждение.
Пусть $$x_1, x_2, \ldots, x_n$$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, для которых
$$M(x_i)=\mu,\qquad D(x_i)=D.$$
Рассмотрим среднее арифметическое
$$y=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}.$$
Найдём его математическое ожидание:
$$
M(y)=M\!\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)
=\frac{M(x_1)+M(x_2)+\cdots+M(x_n)}{n}
=\frac{n\mu}{n}=\mu.
$$
Найдём дисперсию:
$$
D(y)=D\!\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)
=\frac{D(x_1)+D(x_2)+\cdots+D(x_n)}{n^2}
=\frac{nD}{n^2}=\frac{D}{n}.
$$
По неравенству Чебышёва для любого $$\delta>0$$ имеем:
$$
P\bigl(|y-M(y)|\ge \delta\bigr)\le \frac{D(y)}{\delta^2}.
$$
Следовательно,
$$
P\bigl(|y-\mu|<\delta\bigr)\ge 1-\frac{D(y)}{\delta^2}
=1-\frac{D}{n\delta^2}.
$$
То есть
$$
P(\mu-\delta<y<\mu+\delta)\ge 1-\frac{D}{n\delta^2}.
$$
При $$n\to\infty$$ правая часть стремится к $$1$$, так как
$$\frac{D}{n\delta^2}\to 0.$$
Значит, вероятность того, что выполняется неравенство $$\mu-\delta<y<\mu+\delta,$$ неограниченно приближается к $$1$$ с ростом $$n$$.
Ответ
$$P(\mu-\delta<y<\mu+\delta)\to 1 \quad \text{при } n\to\infty.$$
