Упр.34.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 34.8. Сумма денежных средств на счетах клиентов в некотором банке составляет 500 млн р. Вероятность того, что сумма денежных средств на случайно выбранном счёте меньше 50 тыс. р., составляет 80 %. Докажите, что в банке открыто не более 50 000 счетов.

Обозначим через $$x$$ сумму денег на случайно выбранном счёте. Тогда

$$P(x<50000)=0{,}8,$$

значит,

$$P(x\ge 50000)=1-0{,}8=0{,}2.$$

Пусть $$M(x)$$ — математическое ожидание суммы на счёте. Тогда, так как при $$x\ge 50000$$ сумма не меньше $$50000$$, имеем

$$M(x)\ge 50000\cdot P(x\ge 50000)=50000\cdot 0{,}2=10000.$$

С другой стороны, если в банке открыто $$n$$ счетов, а суммы на них равны $$x_1,x_2,\dots,x_n$$, то

$$x_1+x_2+\dots+x_n=500\cdot 10^6,$$

а значит,

$$nM(x)=500\cdot 10^6.$$

Подставим оценку для $$M(x)$$:

$$n\cdot 10000\le 500\cdot 10^6.$$

Отсюда

$$n\le \frac{500\cdot 10^6}{10000}=50000.$$

Следовательно, в банке открыто не более $$50000$$ счетов.

Ответ

$$n\le 50000.$$