Упр.34.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) Используя неравенство Чебышёва, докажите, что вероятность того, что из 30 бросков баскетболист забросит мяч по крайней мере 25 раз, не меньше 70 %.
2) Используя биномиальное распределение, найдите вероятность того, что из 30 бросков баскетболист забросит мяч по крайней мере 25 раз.

Подробный ответ

Обозначим через $$X$$ число попаданий в корзину при $$30$$ независимых бросках. Тогда $$X$$ — биномиальная случайная величина, для которой

$$n=30,\quad p=0{,}9,\quad q=1-p=0{,}1.$$

Найдём математическое ожидание и дисперсию:

$$M(X)=np=30\cdot 0{,}9=27,$$

$$D(X)=npq=30\cdot 0{,}9\cdot 0{,}1=2{,}7.$$

1) По неравенству Чебышёва:

$$P\left(|X-M(X)|\le \delta\right)\ge 1-\frac{D(X)}{\delta^2}.$$

Так как требуется доказать, что $$P(X\ge 25)\ge 0{,}7,$$ рассмотрим отклонение от среднего на $$3$$:

$$P(|X-27|\le 3)\ge 1-\frac{2{,}7}{3^2}=1-\frac{2{,}7}{9}=0{,}7.$$

Событие $$|X-27|\le 3$$ означает

$$24\le X\le 30,$$

а значит, в частности, $$X\ge 25$$. Следовательно,

$$P(X\ge 25)\ge 0{,}7.$$

2) По биномиальному распределению:

$$P(X\ge 25)=\sum_{k=25}^{30} \binom{30}{k} 0{,}9^k 0{,}1^{30-k}.$$

Вычислим:

$$
\begin{aligned}
P(X\ge 25) &=
\binom{30}{25}0{,}9^{25}0{,}1^5+
\binom{30}{26}0{,}9^{26}0{,}1^4+
\binom{30}{27}0{,}9^{27}0{,}1^3\\
&\quad+
\binom{30}{28}0{,}9^{28}0{,}1^2+
\binom{30}{29}0{,}9^{29}0{,}1+
\binom{30}{30}0{,}9^{30}.
\end{aligned}
$$

Численно:

$$P(X\ge 25)\approx 0{,}1023+0{,}1771+0{,}2361+0{,}2276+0{,}1413+0{,}0423\approx 0{,}9267.$$