Упр.34.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) Поддержите администрацию школы, доказав, что ученик в среднем опаздывает по крайней мере 15 раз из 16.
2) Поддержите ученика, доказав, что он практически никогда не опаздывает больше, чем на 5 минут, — не чаще, чем 4 раза в год (в учебном году 170 учебных дней).

Дано: $$M(x)=2,$$ $$\sigma(x)=0{,}5,$$ значит

$$D(x)=\sigma^2(x)=0{,}25.$$

Используем неравенство Чебышёва:

$$P\left(|x-\mu|\le \delta\right)\ge 1-\frac{D}{\delta^2}.$$

1. Для события «ученик опаздывает» нужно оценить вероятность $$P(x\ge 0).$$

   Возьмём $$\delta=4\sigma=2.$$ Тогда

   $$P(|x-2|\le 2)\ge 1-\frac{0{,}25}{2^2}=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}.$$

   Это означает, что

   $$P(0\le x\le 4)\ge \frac{15}{16},$$

   а значит, ученик опаздывает по крайней мере в $$\frac{15}{16}$$ случаев.

2. Теперь оценим вероятность опоздания более чем на 5 минут:

   $$P(x>5).$$

   Возьмём $$\delta=6\sigma=3.$$ Тогда

   $$P(|x-2|>3)\le \frac{D}{3^2}=\frac{0{,}25}{9}=\frac{1}{36}.$$

   Следовательно, за $$170$$ учебных дней число таких опозданий не превосходит

   $$170\cdot \frac{1}{36}<5.$$

   Значит, таких опозданий будет не более $$4$$ раз в год.

Ответ

1) $$P(x\ge 0)\ge \frac{15}{16}.$$

2) $$P(x>5)\le \frac{1}{36},$$ значит, за учебный год — не более 4 раз.