Упр.32.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 32.8. Случайные величины х и y являются независимыми. Докажите, что D(xy) > D(x)D(y).

Подробный ответ

Так как случайные величины $$x$$ и $$y$$ независимы, то

$$M(xy)=M(x)M(y), \qquad M(x^2y^2)=M(x^2)M(y^2).$$

Обозначим

$$M(x^2)=a,\quad M(x)=b,\quad M(y^2)=c,\quad M(y)=d.$$

Тогда

$$D(x)=M(x^2)-\bigl(M(x)\bigr)^2=a-b^2\ge 0,$$

$$D(y)=M(y^2)-\bigl(M(y)\bigr)^2=c-d^2\ge 0.$$

Найдём дисперсию произведения:

$$
D(xy)=M(x^2y^2)-\bigl(M(xy)\bigr)^2
= M(x^2)M(y^2)-\bigl(M(x)M(y)\bigr)^2
=ac-b^2d^2.
$$

Теперь вычислим разность:

$$
\begin{aligned}
D(xy)-D(x)D(y)
&= \bigl(ac-b^2d^2\bigr)-\bigl(a-b^2\bigr)\bigl(c-d^2\bigr) \\
&= ac-b^2d^2-ac+ad^2+b^2c-b^2d^2 \\
&= d^2(a-b^2)+b^2(c-d^2) \\
&= d^2D(x)+b^2D(y)\ge 0.
\end{aligned}
$$

Следовательно,

$$D(xy)\ge D(x)D(y).$$

Если хотя бы одна из дисперсий $$D(x)$$ или $$D(y)$$ положительна, то неравенство строгое:

$$D(xy)>D(x)D(y).$$