Упр.32.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 32.5. Вероятность события A в некотором испытании равна р. Проводят серию из n таких испытаний и подсчитывают частоту x_n=n_A/n события А, где n_A — число испытаний в этой серии, в которых произошло событие A. Докажите, что M(x_n)=p и D(x_n)=p(1-p)/n.

Подробный ответ

Обозначим через $$x=n_A$$ число появлений события $$A$$ в серии из $$n$$ испытаний. Тогда частота события

$$x_n=\frac{n_A}{n}=\frac{x}{n}.$$

Так как вероятность события $$A$$ в одном испытании равна $$p$$, то случайная величина $$x$$ распределена по биномиальному закону:

$$M(x)=np,\qquad D(x)=np(1-p).$$

Найдём математическое ожидание частоты:

$$M(x_n)=M\left(\frac{x}{n}\right)=\frac{1}{n}M(x)=\frac{1}{n}\cdot np=p.$$

Найдём дисперсию частоты:

$$D(x_n)=D\left(\frac{x}{n}\right)=\frac{1}{n^2}D(x)=\frac{1}{n^2}\cdot np(1-p)=\frac{p(1-p)}{n}.$$