Упр.31.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 31.7. В некотором опыте наблюдают две независимые одинаково распределённые случайные величины х и у, принимающие конечное множество значений. Докажите, что для случайной величины z=x-y и произвольного числа d выполняется равенство P(z=d)=P(z=-d).

Подробный ответ

Так как случайные величины $$x$$ и $$y$$ независимы и одинаково распределены, то для любых значений $$a_i$$ и $$b_i$$ из их множества значений выполняется

$$P(x=a_i)=P(y=a_i), \qquad P(x=b_i)=P(y=b_i).$$

Рассмотрим событие $$z=d$$, то есть $$x-y=d$$. Это равносильно тому, что для некоторых значений $$a_i$$ и $$b_i$$ выполнено

$$a_i-b_i=d.$$

Тогда

$$P(z=d)=\sum P(x=a_i)\cdot P(y=b_i).$$

Аналогично событие $$z=-d$$ означает

$$y-x=d \quad \Longleftrightarrow \quad b_i-a_i=-d,$$

поэтому

$$P(z=-d)=\sum P(y=a_i)\cdot P(x=b_i).$$

Но так как распределения одинаковы, то $$P(x=a_i)=P(y=a_i)$$ и $$P(x=b_i)=P(y=b_i)$$. Следовательно, соответствующие суммы равны:

$$P(z=d)=P(z=-d).$$