Упр.31.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 31.6. В некотором опыте наблюдают две независимые случайные величины х и у, имеющие геометрические распределения. Докажите, что случайная величина min(x, у) также имеет геометрическое распределение.

Пусть $$x$$ и $$y$$ — независимые случайные величины с геометрическими распределениями:

$$P(x=k)=(1-p)^{k-1}p,\qquad P(y=k)=(1-r)^{k-1}r,\qquad k=1,2,\dots$$

Тогда для любого натурального $$z$$

$$P(x>z)=(1-p)^z,\qquad P(y>z)=(1-r)^z.$$

Обозначим $$m=\min(x,y)$$. Тогда

$$P(m>z)=P(x>z,\ y>z).$$

Так как $$x$$ и $$y$$ независимы, получаем

$$P(m>z)=P(x>z)\cdot P(y>z)=(1-p)^z(1-r)^z=\bigl((1-p)(1-r)\bigr)^z.$$

Следовательно,

$$P(m=k)=P(m>k-1)-P(m>k)$$

$$=\bigl((1-p)(1-r)\bigr)^{k-1}-\bigl((1-p)(1-r)\bigr)^k$$

$$=\bigl((1-p)(1-r)\bigr)^{k-1}\Bigl(1-(1-p)(1-r)\Bigr).$$

Преобразуем множитель:

$$1-(1-p)(1-r)=p+r-pr.$$

Значит,

$$P(m=k)=\bigl((1-p)(1-r)\bigr)^{k-1}(p+r-pr),\qquad k=1,2,\dots$$

Это и есть геометрическое распределение.

Ответ

$$\min(x,y)$$ имеет геометрическое распределение:

$$P(\min(x,y)=k)=\bigl((1-p)(1-r)\bigr)^{k-1}(p+r-pr),\qquad k=1,2,\dots$$