Упр.31.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 31.4. В некотором опыте наблюдают две независимые случайные величины х и у, имеющие биномиальное распределение, х — с параметрами n и p, а у — с параметрами m и p. Найдите распределение случайной величины x+y.

Пусть $$q=1-p.$$ Тогда

$$
P(x=k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}, \qquad k=0,1,\dots,n,
$$
$$
P(y=j)=C_m^j p^j q^{\,m-j}, \qquad j=0,1,\dots,m.
$$

Так как случайные величины $$x$$ и $$y$$ независимы, то для суммы $$x+y$$ получаем распределение свёрткой:

$$
P(x+y=i)=\sum_{k} P(x=k)\,P(y=i-k).
$$

Подставим формулы биномиального распределения:

$$
P(x+y=i)=\sum_{k} C_n^k p^k q^{\,n-k}\, C_m^{\,i-k} p^{\,i-k} q^{\,m-i+k}.
$$

После группировки степеней:

$$
P(x+y=i)=p^i q^{\,m+n-i}\sum_{k} C_n^k C_m^{\,i-k}.
$$

По формуле Вандермонда

$$
\sum_{k} C_n^k C_m^{\,i-k}=C_{m+n}^i,
$$

поэтому

$$
P(x+y=i)=C_{m+n}^i p^i q^{\,m+n-i}.
$$

Значит, случайная величина $$x+y$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$m+n$$ и $$p$$.

Ответ

$$x+y \sim \mathrm{Bin}(m+n,\;p).$$