Упр.31.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 31.2. Случайные величины x_1, x_2, …, x_n независимы и имеют распределение Бернулли с параметром р. Найдите распределение случайной величины y=x_1x_2…x_n.

Так как каждая случайная величина $$x_i$$ имеет распределение Бернулли с параметром $$p$$, то

$$P(x_i=1)=p,\qquad P(x_i=0)=1-p.$$

Рассмотрим произведение

$$y=x_1x_2\cdots x_n.$$

Значение $$y=1$$ возможно только тогда, когда все величины $$x_1,x_2,\ldots,x_n$$ равны $$1$$:

$$y=1 \iff x_1=x_2=\cdots=x_n=1.$$

По независимости случайных величин

$$P(y=1)=P(x_1=1)\cdot P(x_2=1)\cdot \ldots \cdot P(x_n=1)=p^n.$$

Тогда

$$P(y=0)=1-P(y=1)=1-p^n.$$

Следовательно, случайная величина $$y$$ также имеет распределение Бернулли, но с параметром $$p^n$$.

Ответ

$$P(y=1)=p^n,\qquad P(y=0)=1-p^n.$$