Упр.30.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 30.6. Карлсон нашёл в доме у Малыша большой кулёк конфет и принялся их есть, выбирая сначала только шоколадные. Когда количество шоколадных конфет сократилось до 8 % от оставшихся конфет, Карлсон со словами: «Эх… попадёшь к вам в дом, научишься есть всякую гадость» — съел ещё 50 конфет без разбору. Оцените вероятность того, что среди этих 50 конфет Карлсону попалось от 5 до 7 шоколадных включительно. Решите задачу, воспользовавшись: 1) биномиальным распределением; 2) распределением Пуассона.

Подробный ответ

Вероятность того, что одна конфета окажется шоколадной, равна $$p=0{,}08,$$ тогда $$q=1-p=0{,}92.$$

Пусть $$X$$ — число шоколадных конфет среди 50. Тогда $$X$$ имеет биномиальное распределение:
$$P(X=k)=C_{50}^k p^k q^{50-k}.$$
Нужно найти
$$P(5\le X\le 7)=P(X=5)+P(X=6)+P(X=7).$$
Тогда
$$
P=C_{50}^5\cdot 0{,}08^5\cdot 0{,}92^{45}
+C_{50}^6\cdot 0{,}08^6\cdot 0{,}92^{44}
+C_{50}^7\cdot 0{,}08^7\cdot 0{,}92^{43}.
$$
Вычислим:
$$
P\approx 0{,}16292+0{,}10625+0{,}05807=0{,}32724.
$$
Значит, $$P\approx 0{,}33,$$ то есть около $$33\%.$$
Приблизим биномиальное распределение распределением Пуассона. Тогда
$$\lambda=np=50\cdot 0{,}08=4.$$
По формуле Пуассона
$$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}.$$
Имеем
$$
P(5\le X\le 7)=\frac{4^5}{5!}e^{-4}+\frac{4^6}{6!}e^{-4}+\frac{4^7}{7!}e^{-4}.
$$
Тогда
$$
P\approx 0{,}15629+0{,}10419+0{,}05954=0{,}32002.
$$
Следовательно, $$P\approx 0{,}32,$$ то есть около $$32\%.$$