Упр.30.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 30.5. Первые капли дождя оставляют на сухом асфальте школьной баскетбольной площадки тёмные точки-отметины. Найдите вероятность того, что в центральный круг радиуса 2 м попало 5 дождевых капель, если размер всей площадки 24 x 12 м и на неё упало 200 капель дождя. Решите задачу, воспользовавшись: 1) биномиальным распределением; 2) распределением Пуассона.
Найдём вероятность того, что одна капля попадёт в центральный круг радиуса $2$ м.
Площадь круга:
$$S_{\text{круга}}=\pi \cdot 2^2=4\pi.$$
Площадь всей площадки:
$$S_{\text{площадки}}=24\cdot 12=288.$$
Тогда
$$p=\frac{4\pi}{288}=\frac{\pi}{72}\approx 0{,}0436,$$
$$q=1-p\approx 0{,}9564.$$
1) По биномиальному распределению
Пусть $X$ — число капель, попавших в круг. Тогда
$$P(X=5)=C_{200}^5 p^5 q^{195}.$$
Подставим значения:
$$P(X=5)=C_{200}^5\cdot 0{,}0436^5\cdot 0{,}9564^{195}\approx 0{,}067.$$
Следовательно,
$$P(X=5)\approx 6{,}7\%.$$
2) По распределению Пуассона
Параметр распределения:
$$\lambda=np=200\cdot 0{,}0436=8{,}72.$$
Тогда
$$P(X=5)=\frac{\lambda^5}{5!}e^{-\lambda}=\frac{8{,}72^5}{5!}e^{-8{,}72}\approx 0{,}068.$$
Следовательно,
$$P(X=5)\approx 6{,}8\%.$$
Ответ
1) $6{,}7\%$; 2) $6{,}8\%$.
