Упр.30.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) Запишите формулу для вычисления вероятности того, что наборщик сделает k опечаток на одном развороте.
2) Используя калькулятор или компьютер, вычислите приближённое значение вероятности количества опечаток для: a) k=0; 6) k=1; в) k=4; г) k=5.
3) Воспользовавшись распределением Пуассона, для тех же значений k вычислите приближённые значения вероятностей количества опечаток и сравните полученные результаты.
4) Вычислите приближённое значение вероятности того, что наборщик сделает 10 опечаток на развороте.

Переведём вероятность опечатки в десятичную дробь:

$$p=0{,}025\% = 0{,}00025,$$

тогда

$$q=1-p=0{,}99975.$$

Число символов на развороте:

$$n=16000.$$

Найдём параметр распределения Пуассона:

$$\lambda=np=16000\cdot 0{,}00025=4.$$

1) Вероятность того, что наборщик сделает ровно $$k$$ опечаток на одном развороте, по формуле Бернулли:

$$P(X=k)=C_{16000}^k\cdot 0{,}00025^k\cdot 0{,}99975^{16000-k}.$$

2) Приближённые значения вероятностей:

$$P(X=0)=C_{16000}^0\cdot 0{,}00025^0\cdot 0{,}99975^{16000}\approx 0{,}01831,$$

$$P(X=1)=C_{16000}^1\cdot 0{,}00025^1\cdot 0{,}99975^{15999}\approx 0{,}07324,$$

$$P(X=4)=C_{16000}^4\cdot 0{,}00025^4\cdot 0{,}99975^{15996}\approx 0{,}19539,$$

$$P(X=5)=C_{16000}^5\cdot 0{,}00025^5\cdot 0{,}99975^{15995}\approx 0{,}15631.$$

3) По распределению Пуассона:

$$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad \lambda=4.$$

Тогда

$$P(X=0)=\frac{4^0}{0!}e^{-4}=e^{-4}\approx 0{,}01832,$$

$$P(X=1)=\frac{4^1}{1!}e^{-4}=4e^{-4}\approx 0{,}07326,$$

$$P(X=4)=\frac{4^4}{4!}e^{-4}=\frac{32}{3}e^{-4}\approx 0{,}19537,$$

$$P(X=5)=\frac{4^5}{5!}e^{-4}=\frac{128}{15}e^{-4}\approx 0{,}15629.$$

Полученные значения практически совпадают.

4) Вероятность того, что наборщик сделает 10 опечаток:

$$P(X=10)=\frac{4^{10}}{10!}e^{-4}\approx 0{,}00529.$$

Ответ

$$P(X=k)=C_{16000}^k\cdot 0{,}00025^k\cdot 0{,}99975^{16000-k}.$$

$$P(0)\approx 0{,}01831,\quad P(1)\approx 0{,}07324,\quad P(4)\approx 0{,}19539,\quad P(5)\approx 0{,}15631.$$

По Пуассону: $$0{,}01832;\ 0{,}07326;\ 0{,}19537;\ 0{,}15629.$$

$$P(10)\approx 0{,}00529.$$