Упр.3.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (1/4)^(6x-x^2) > (1/4)^5; 4) (sin(g/6))^(x-0,5) > v2;
2) 125·(1/5)^(3x^2) > (1/25)^(-4x); 5) (2/3)^(4/x-3) < 9/4; 3) 0,6^(x+5)/(x^2-9) < 1; 6) 4·0,5^(x(x+3)) > 0,25^(2x).

1. $$\left(\frac14\right)^{6x-x^2}>\left(\frac14\right)^5$$
   
   Так как $$0<\frac14<1,$$ сравниваем показатели с противоположным знаком:
   $$6x-x^2<5$$
   $$x^2-6x+5>0$$
   $$ (x-1)(x-5)>0 $$
   Отсюда
   $$x<1 \text{ или } x>5.$$
2. $$125\cdot\left(\frac15\right)^{3x^2}\ge \left(\frac1{25}\right)^{-4x}$$
   $$5^3\cdot 5^{-3x^2}\ge 5^{-2(-4x)}$$
   $$3-3x^2\ge 8x$$
   $$3x^2+8x-3\le 0$$
   $$ (3x-1)(x+3)\le 0 $$
   Отсюда
   $$-3\le x\le \frac13.$$
3. $$\frac{0{,}6^{x+5}}{x^2-9}<1$$
   Область определения:
   $$x^2-9\ne 0,\quad x\ne \pm 3.$$
   Так как $$0<0{,}6<1,$$ то
   $$0{,}6^{x+5}>0,$$
   и неравенство равносильно
   $$\frac{x+5}{x^2-9}>0.$$
   Разложим знаменатель:
   $$\frac{x+5}{(x-3)(x+3)}>0.$$
   По знакам получаем:
   $$-5<x<-3 \text{ или } x>3.$$
4. $$\left(\sin\frac{\pi}{6}\right)^{x-0{,}5}>\sqrt2$$
   $$\left(\frac12\right)^{x-0{,}5}>2^{1/2}$$
   $$2^{-(x-0{,}5)}>2^{0{,}5}$$
   Так как основание больше 1, сравниваем показатели:
   $$-(x-0{,}5)>0{,}5$$
   $$x<0.$$
5. $$\left(\frac23\right)^{\frac4x-3}\le \frac94$$
   $$\frac94=\left(\frac32\right)^2=\left(\frac23\right)^{-2}$$
   Тогда, поскольку $$0<\frac23<1,$$
   $$\frac4x-3\ge -2$$
   $$\frac4x\ge 1$$
   $$\frac{x-4}{x}\le 0.$$
   Отсюда
   $$0<x\le 4.$$
6. $$4\cdot 0{,}5^{x(x+3)}\ge 0{,}25^{2x}$$
   $$2^2\cdot \left(\frac12\right)^{x^2+3x}\ge \left(\frac14\right)^{2x}$$
   $$2^2\cdot 2^{-(x^2+3x)}\ge 2^{-2\cdot 2x}$$
   $$2-x^2-3x\ge -4x$$
   $$x^2-x-2\le 0$$
   $$ (x+1)(x-2)\le 0 $$
   Отсюда
   $$-1\le x\le 2.$$

Ответ

1) $$(-\infty;1)\cup(5;+\infty)$$; 2) $$\left[-3;\frac13\right]$$; 3) $$(-5;-3)\cup(3;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;0)$$; 5) $$(0;4]$$; 6) $$[-1;2]$$.