Упр.3.35 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 3.35. При каких значениях параметра m неравенство (m+2)·4^(|x-1|) -2m·2^(|x-1|) +3m+1 > 0 выполняется при всех действительных x?

Подробный ответ

Положим $$t=2^{|x-1|}.$$ Тогда $$t\ge 1,$$ а неравенство принимает вид

$$ (m+2)t^2-2mt+3m+1>0. $$

Обозначим

$$f(t)=(m+2)t^2-2mt+3m+1.$$

Нужно, чтобы $$f(t)>0$$ при всех $$t\ge 1.$$

Рассмотрим вершину параболы:

$$t_0=\frac{m}{m+2}.$$

Если $$m+2>0,$$ то парабола направлена вверх. Для выполнения неравенства при всех $$t\ge 1$$ достаточно, чтобы наименьшее значение на промежутке $$[1,+\infty)$$ было положительным.

1) Если $$t_0\le 1,$$ то минимум достигается при $$t=1$$:

$$f(1)=(m+2)-2m+3m+1=2m+3.$$

Тогда нужно

$$2m+3>0 \quad \Rightarrow \quad m>-\frac32.$$

2) Если $$t_0>1,$$ то минимум достигается в вершине. Но

$$t_0=\frac{m}{m+2}>1$$

невозможно при $$m+2>0,$$ так как тогда

$$m>m+2,$$

что противоречит.

Значит, достаточно и необходимо, чтобы $$f(1)>0,$$ то есть

$$m>-\frac32.$$

Проверим случай $$m+2=0.$$ Тогда