Упр.3.34 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 3.34. При каких значениях параметра а неравенство 4^(cos(x))-2(a-3)·2^(cos(x))+a+3 > 0 выполняется при всех действительных x?

Подробный ответ

Обозначим $$t=2^{\cos x}.$$ Тогда $$t\in\left[\frac12,2\right],$$ а неравенство принимает вид

$$t^2-2(a-3)t+a+3>0.$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен

$$f(t)=t^2-2(a-3)t+a+3.$$

Чтобы неравенство выполнялось при всех $$x,$$ нужно, чтобы $$f(t)>0$$ для всех $$t\in\left[\frac12,2\right].$$

Вершина параболы находится в точке

$$t_0=a-3.$$

Если $$t_0\in\left[\frac12,2\right],$$ то наименьшее значение на отрезке достигается в вершине, и нужно

$$f(t_0)>0.$$

Вычислим:

$$f(a-3)=(a-3)^2-2(a-3)^2+a+3=-a^2+7a-6.$$

Тогда

$$-a^2+7a-6>0,$$

$$a^2-7a+6<0,$$

$$ (a-1)(a-6)<0,$$

откуда

$$1<a<6.$$

Проверим, что при этих значениях вершина действительно лежит на отрезке $$\left[\frac12,2\right]:$$

$$\frac12\le a-3\le 2 \iff \frac72\le a\le 5.$$

Но для значений $$a\in\left(1,\frac72\right)\cup(5,6)$$ вершина вне отрезка, и минимум на $$\left[\frac12,2\right]$$ достигается на конце отрезка. Проверим значения на концах:

$$f\!\left(\frac12\right)=\frac14-(a-3)+a+3=\frac{25}{4}>0,$$

$$f(2)=4-4(a-3)+a+3=19-3a.$$

Чтобы $$f(2)>0,$$ нужно

$$19-3a>0 \iff a<\frac{19}{3}.$$

Это условие автоматически выполняется при $$a<6.$$ Следовательно, достаточно и необходимо

$$1<a<6.$$