Упр.3.33 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 3.33. Для каждого значения параметра а решите неравенство (x-a)v(6·5^x-5·6^x) < 0.

Рассмотрим неравенство

$$ (x-a)\sqrt{6\cdot 5^x-5\cdot 6^x}\le 0. $$

Чтобы выражение под корнем было определено, нужно

$$ 6\cdot 5^x-5\cdot 6^x\ge 0. $$

Преобразуем:

$$ 6\cdot 5^x\ge 5\cdot 6^x, $$

$$ \left(\frac56\right)^x\ge \frac56. $$

Так как $$0<\frac56<1,$$ то знак неравенства при переходе к показателю меняется:

$$ x\le 1. $$

Значит, область определения: $$x\le 1.$$

На этой области $$\sqrt{6\cdot 5^x-5\cdot 6^x}\ge 0,$$ поэтому знак произведения определяется множителем $$x-a.$$

Тогда неравенство равносильно системе:

$$
\begin{cases}
x-a\le 0,\\
x\le 1.
\end{cases}
$$

То есть

$$ x\le a \quad \text{и} \quad x\le 1. $$

Следовательно, решение зависит от значения параметра $$a$$:

• если $$a\ge 1,$$ то более сильное условие $$x\le 1,$$
• если $$a<1,$$ то нужно одновременно $$x\le a$$ и $$x\le 1,$$ значит $$x\le a.$$

Итак,

$$
\begin{cases}
a\ge 1 \Rightarrow x\in(-\infty;1],\\
a<1 \Rightarrow x\in(-\infty;a].
\end{cases}
$$

Ответ

$$
\begin{cases}
a\ge 1,\; x\in(-\infty;1],\\
a<1,\; x\in(-\infty;a].
\end{cases}
$$