Упр.3.32 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 3.32. Для каждого значения параметра а решите неравенство (x-a)v(3·2^x-2·3^x) > 0.

Рассмотрим неравенство

$$ (x-a)\sqrt{3\cdot 2^x-2\cdot 3^x}\ge 0. $$

Чтобы произведение было неотрицательным, нужно, чтобы подкоренное выражение было определено:

$$ 3\cdot 2^x-2\cdot 3^x\ge 0. $$

Решим это неравенство:

$$ 3\cdot 2^x\ge 2\cdot 3^x, $$

$$ \left(\frac{2}{3}\right)^x\ge \frac{2}{3}. $$

Так как $$0<\frac{2}{3}<1,$$ то при переходе к показателю знак неравенства меняется:

$$ x\le 1. $$

Значит, область определения задаётся условием $$x\le 1.$$

На этой области корень неотрицателен, поэтому знак произведения определяется множителем $$x-a$$. Тогда нужно решить неравенство

$$ x-a\ge 0, \quad x\ge a, $$

с учётом условия $$x\le 1.$$

Получаем:

• если $$a\le 1,$$ то $$x\in [a;1];$$
• если $$a>1,$$ то решений нет.

Ответ

Если $$a\le 1,$$ то $$x\in [a;1];$$ если $$a>1,$$ то решений нет.