Упр.3.31 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 3.31. Решите неравенство (3^x-9)v(x^2-2x-8) < 0.

Решим неравенство

$$\left(3^x-9\right)\sqrt{x^2-2x-8}\le 0.$$

Сначала найдём область определения:

$$x^2-2x-8\ge 0,$$

$$\left(x-4\right)\left(x+2\right)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$

Так как $$\sqrt{x^2-2x-8}\ge 0,$$ то произведение не положительно, если

$$3^x-9\le 0$$

или если второй множитель равен нулю.

Решим неравенство:

$$3^x\le 9=3^2,$$

$$x\le 2.$$

Теперь учитываем область определения:

$$x\le 2 \quad \text{и} \quad \left(x\le -2 \ \text{или}\ x\ge 4\right).$$

Получаем:

$$x\le -2.$$

Кроме того, при

$$x=4$$

корень обращается в нуль, значит, произведение тоже равно нулю и это значение подходит.

Итак, решение:

$$(-\infty;\,-2]\cup\{4\}.$$

Ответ

$$(-\infty;\,-2]\cup\{4\}.$$