Упр.3.30 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 3.30. Решите неравенство (2^x-2)v(x^2-x-6) > 0.

Рассмотрим неравенство

$$\left(2^x-2\right)\sqrt{x^2-x-6}\ge 0.$$

Чтобы выражение под корнем было определено, нужно

$$x^2-x-6\ge 0.$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$x^2-x-6=(x-3)(x+2).$$

Тогда

$$ (x-3)(x+2)\ge 0, $$

откуда

$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

Теперь рассмотрим первый множитель:

$$2^x-2\ge 0.$$

Так как $$2^x$$ — возрастающая функция, получаем

$$2^x\ge 2,$$

значит

$$x\ge 1.$$

Так как $$\sqrt{x^2-x-6}\ge 0$$ на области определения, произведение неотрицательно тогда и только тогда, когда

$$2^x-2\ge 0$$

и одновременно

$$x^2-x-6\ge 0.$$

Пересечём полученные условия:

$$x\ge 1 \quad \text{и} \quad (x\le -2 \ \text{или}\ x\ge 3).$$

Отсюда

$$x\ge 3.$$

Ответ

$$[3;+\infty).$$