Упр.3.28 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 5^x > 6-x; 2) 5^x+12^x < 13^x.

1) Рассмотрим функции $$y=5^x$$ и $$g=6-x$$.

Функция $$y=5^x$$ возрастает, а функция $$g=6-x$$ убывает. Найдём точку их пересечения:

$$5^x=6-x.$$

Проверим значение $$x=1$$:

$$5^1=5,\qquad 6-1=5.$$

Значит, при $$x=1$$ функции равны. Так как левая часть возрастает, а правая убывает, то при $$x>1$$ выполняется неравенство $$5^x>6-x$$.

Следовательно,

$$x\in(1;+\infty).$$

2) Преобразуем неравенство:

$$5^x+12^x<13^x.$$

Разделим обе части на $$12^x>0$$:

$$\left(\frac{5}{12}\right)^x+1<\left(\frac{13}{12}\right)^x.$$

Рассмотрим функции $$y=\left(\frac{5}{12}\right)^x+1$$ и $$g=\left(\frac{13}{12}\right)^x$$.

Функция $$y=\left(\frac{5}{12}\right)^x+1$$ убывает, а функция $$g=\left(\frac{13}{12}\right)^x$$ возрастает.

Найдём точку их пересечения:

$$\left(\frac{5}{12}\right)^x+1=\left(\frac{13}{12}\right)^x.$$

Проверим $$x=2$$:

$$\left(\frac{5}{12}\right)^2+1=\frac{25}{144}+1=\frac{169}{144},$$

$$\left(\frac{13}{12}\right)^2=\frac{169}{144}.$$

Значит, при $$x=2$$ функции равны. Так как левая часть убывает, а правая возрастает, то при $$x>2$$ выполняется неравенство

$$\left(\frac{5}{12}\right)^x+1<\left(\frac{13}{12}\right)^x.$$

Следовательно,

$$x\in(2;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in(1;+\infty)$$; 2) $$x\in(2;+\infty)$$.